\label{sect:demos}

Se presentan aqu'i los desarrollos de las series de Taylor para las funciones
$e^{-x}$ y $e^{x}$ alrededor del 0 utilizados en este trabajo.

\subsection{Polinomio de Taylor para \ensuremath{e^{-x}}}

Como se desarroll'o en la secci'on~\ref{sect:teoria}, el polinomio de Taylor 
de $f$ est'a definido como:

\[
P_{n}(x) = \sum_{k=0}^n{ \frac{f^{k}(x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} }
\]

Dado esto, es necesario estudiar la derivada $k$-'esima de $e^{-x}$. 

Derivando una vez, se obtiene $-e^{-x}$. Dos veces, $e^{-x}$, etc. 
Inductivamente puede verse que la derivada $k$-'esima de $e^{-x}$ es 
$(-1)^{k}e^{-x}$ (se omite la demostraci'on formal por ser trivial).
Es importante notar que la derivada $k$-'esima de $e^{-x}$ evaluada en 0
es igual a $(-1)^{k}e^0=(-1)^{k}$. En vista de esto, el polinomio de Taylor 
para $e^{x}$ resulta:

\[
P_{n}(x) = \sum_{k=0}^n{ (-1)^{k} \frac{1}{k!} (x)^{k} }
\]

o lo que es lo mismo:

\[
P_{n}(x) = \sum_{k=0}^n{ (-1)^{k} \frac{x^{k}}{k!}  }.
\]

\subsection{Polinomio de Taylor para $e^{x}$}

Como fue expuesto en la secci'on~\ref{sect:teoria}, el polinomio de Taylor 
de $f$ est'a definido como:

\[
P_{n}(x) = \sum_{k=0}^n{ \frac{f^{k}(x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} }
\]

De esta forma, es necesario estudiar la derivada $k$-'esima de $e^{x}$.
La derivada $k$-'esima de $e^{x}$ es $e^{x}$ y se encuenra evaluada
en $x_0=0$, evaluaci'on cuyo resultado es 1. Reemplazando en la definici'on, 
el polinomio de Taylor para $e^{x}$ es:

\[
P_{n}(x) = \sum_{k=0}^n{ \frac{1}{k!} (x)^{k} }
\]

o escrito de otra manera:

\[
P_{n}(x) = \sum_{k=0}^n{ \frac{x^{k}}{k!}  }.
\]
